Réciproque de la fonction exponentielle

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est représentée, dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction exponentielle ainsi que la droite horizontale d'équation \(y=a\) avec \(a\) un réel strictement positif.

Partie A : conjectures

1. a. À l'aide du curseur, faire varier la valeur de \(a\), observer que l'équation \(\text{e}^x=a\) semble avoir une unique solution sur \(\mathbb{R}\).
    b. On admet que l'équation \(\text{e}^x=a\) a une unique solution sur \(\mathbb{R}\), on la note \(\text{ln}(a)\). On l'appelle logarithme népérien du réel \(a\). Expliquer pourquoi on a \(\text{ln}(1)=0\), \(\text{ln}(\text{e})=1\) et \(\text{ln}(\text{e}^{-1})=-1\).

2. a. Déterminer graphiquement une valeur approchée de \(\text{ln}(2)\)\(\), de \(\text{ln}(3)\) et de \(\text{ln}(6)\). Quelle relation semble exister entre les réels \(\text{ln}(2) , \text{ln}(3)\) et \(\text{ln}(6)\) ?
    b. Conjecturer alors une relation entre \(\text{ln}(a) , \text{ln}(b)\) et \(\text{ln}(a\times b)\) avec \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.

Partie B : démonstrations

Rappels
Pour tous nombres réels \(A\) et \(B\), \(\text{e}^{A+B} = \text{e}^A \times \text{e}^B\).
Pour tous nombres réels \(x\) et \(y\), \(\text {e}^x = \text{e}^y\) si et seulement \(x = y\). 

On veut démontrer que, pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, on a \(\text{ln}(a\times b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)\).

1. Réordonner les phrases suivantes afin de construire une démonstration.
    a. On a \(\text{ln}(a) = A\) et \(\text{ln}(b) = B\).
    b. D'autre part \(\text{e}^{\text{ln}(a \times b)}=a\times b\).
    c. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs et \(A\) et \(B\) deux réels tels que \(\text{e}^A = a\) et \(\text{e}^B=b\).
    d. On en déduit \(\text{e}^{\text{ln}(a)+\text{ln}(b)}=a\times b\).
    e. On conclut \(\text{ln}(a\times b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)\).
    f. D'une part \(\text{e}^{\text{ln}(a)+\text{ln}(b)}=\text{e}^{\text{ln}(a)}\times \text{e}^{\text{ln}(b)}\).

2. En remarquant que, pour tout \(b\) réel strictement positif, \(1=b\times \dfrac{1}{b}\), déduire que \(\text{ln}\Big(\dfrac{1}{b}\Big)=-\text{ln}(b)\). Que dire alors de \(\text{ln}\Big(\dfrac{a}{b}\Big)\) avec \(a\) réel strictement positif ?

3. Soit \(a\) un réel strictement positif et \(n\) un entier relatif. Que dire de \(\text{ln}(a^n)\) ?

Partie C : approche graphique de la courbe de la fonction \(\text{ln}\)

On admet que la fonction exponentielle admet une fonction réciproque : la fonction logarithme népérien, notée \(\text{ln}\). Cela signifie que, pour \(x\) réel et \(y\) réel strictement positif tels que \(\text{e}^x = y\), on a \(x = \text{ln}(y)\).

Propriété (admise)

Soit \(f\) une fonction admettant une fonction réciproque. Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction \(f\) et de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\).

Dans le fichier de géométrie dynamique ci-dessous sont tracées :

• en vert, la courbe représentative de la fonction exponentielle \(\mathcal{C}_{\text{exp}}\) ;
  
• en pointillés, la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y=x\).

Par ailleurs, \(\text{A}\) est un point de \(\mathcal{C}_{\text{exp}}\) d'abscisse \(a\) et \(\text{A}^{\prime}\) est le symétrique du point \(\text{A}\) par rapport à la droite \(\mathcal{D}\).
1. En faisant varier le curseur a, observer la position de \(\text{A}'\) et expliquer comment construire le point \(\text{A}^{\prime}\).

2. a. Dans le fichier de géométrie dynamique, faire varier la valeur de \(a\) et faire apparaître la courbe \(\mathcal{C^{\prime}}\) représentative de la fonction logarithme népérien, symétrique de la courbe \(\mathcal{C}_{\text{exp}}\) par rapport à la droite \(\mathcal{D}\).
    b. À l'aide du graphique, conjecturer l'intervalle de définition de la fonction \(\text{ln}\).
3. a. Donner les valeurs de \(\text{ln} (1)\) et \(\text{ln} (\text{e})\).
    b. Conjecturer le sens de variations de la fonction \(\text{ln}\).
    c. Conjecturer le signe de la fonction \(\text{ln}\).